SERIES

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puede observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, que las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo $y''+xy = 0$, no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar este tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas por lo que se denominan series de potencias. Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades elementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados básicos relativos a las series numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias. 

 Seríes Numéricas 

Se llama serie de números reales a todo par ordenado $(\{a_{n}\}, \{S_{n}\})$ en el que $\{a_{n}\}$ es una sucesión de números reales arbitraria y $\{S_{n}\}$ es la sucesión definida por: $S_{1} = a_{1}$

 $S_{n+1} = S_{n} + a_{n+1} = a_{1} + \cdots+ a_{n+1}$  para todo  $n\in \mathbb{N}$. 

 A  $\{{a}_{n} \}$  se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión  $\{S_{n}\}$ se llamará sucesión de sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}}$  a la serie de término general  $\{{a}_{n} \}$. 

Se dice que la serie de números reales $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}}$  es convergente cuando su sucesión de sumas parciales es convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite de la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por:  $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}{S_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}{({a}_{1}+\cdots +{a}_{n})}}$ 

Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien el límite sea $(\pm \infty)$, diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie. 

Condición necesaria de convergencia 

Una condición necesaria para que la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}}$ sea convergente es que $\lim {a}_{n} = 0$. 

Propiedad de linealidad 

Si las series $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}}$ y $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{b}_{n}}$ son convergentes, entonces la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{(\alpha{a}_{n}+\beta{b}_{n})}}$ con $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ es convergente y se cumple: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{(\alpha{a}_{n}+\beta{b}_{n})}=\alpha \sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}+\beta \sum_{n=1}^{\infty}{b}_{n}}$ 

 A continuación daremos algunos tipos de series. 

Series de términos no negativos 

Una serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}}$ tal que ${a}_{n}\ge 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, se denomina serie de términos no negativos. La sucesión de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es convergente si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Este hecho hace que las series de términos no negativos sean especialmente fáciles de tratar. 

Series alternadas 

Las series cuyos términos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. Así, suponiendo ${a}_{n} > 0$ para todo $n\in \mathbb{N}$, las series alternadas aparecen de dos maneras: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}{a}_{n}}$ o $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{a}_{n}}$ \section{Series absolutamente convergentes} Una serie de términos arbitrarios $\sum{{a}_{n}}$ es absolutamente convergente (absolutamente divergente) cuando la serie de términos no negativos $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|{a}_{n}|}$ es convergente (divergente). Toda serie absolutamente convergente, es convergente. 

Método de Series de Potencias para E.D.O 

Método de solución 

El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo. En esta sección veremos un procedimiento para obtener soluciones en serie de potencias de una ecuación diferencial lineal. Para una ecuación diferencial dada: $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ Se representa primero $p(x)$ y $q(x)$ por series de potencias en potencias de $x$ si se desea obtener soluciones de potencias de $(x-{x}_{0})$. En muchas ocasiones son polinomios $p(x)$ y $q(x)$ entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos. $\displaystyle{y=\sum_{n=0}^{\infty}{{a}_{n}{x}^{n}}}={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{x}^{3}+\cdots$ 

 Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

 $\displaystyle{y'=\sum_{n=1}^{\infty}{n{a}_{n}{x}^{n-1}}}={a}_{1}+2{a}_{2}{x}+3{a}_{3}{x}^{2}+\cdots$ $ \displaystyle{y''=\sum_{n=1}^{\infty}{n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}}}=2{a}_{2}+2\times 3{a}_{3}x+\cdots$ Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de $x$ y la suma de los coeficientes de cada potencia de $x$ que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a $x$ , los términos que incluyen a $x_{2}$ etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos. 

Ejercicio 

 Encontrar una solución en serie de potencias de la ecuación diferencial: $y'+2xy=0$ 

Solución 

 Suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma: $\displaystyle{y=\sum_{n=0}^{\infty}{{a}_{n}{x}^{n}}}$ $\displaystyle{y'=\sum_{n=1}^{\infty}{n{a}_{n}{x}^{n-1}}}$ Nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes ${a}_{n}$. Para ello, sustituimos los desarrollos en serie de $y(x)$ y $y'(x)$ en la ecuación diferencial original, obtemos $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}{n{a}_{n}{x}^{n-1}}+2x\sum_{n=0}^{\infty}{{a}_{n}{x}^{n}}}=0$\\ $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}{n{a}_{n}{x}^{n-1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{2{a}_{n}{x}^{n+1}}}=0$ \textbf{(1)} Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x,se obtiene ${a}_{1}+(2{a}_{2}+2{a}_{0})x+(3{a}_{3}+2{a}_{1}){x}^{2}+(4{a}_{4}+2{a}_{2}){x}^{3}+\cdots=0$ 

 Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idénticamente cero, se debe verificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. 

Asi tenemos {a}_{1}=0 2{a}_{2}+2{a}_{0}=0 3{a}_{3}+2{a}_{1}=0 4{a}_{4}+2{a}_$ 

Resolviendo el sistema anterior resulta ${a}_{1}=0 ; {a}_{2}=-{a}_{0}; {a}_{3}=-\frac{2}{3}{a}_{1}; {a}_{4}=-\frac{1}{2}{a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{0}$ 

 Por tanto, la serie de potencias adopta la siguiente forma $y={a}_{0}-{a}_{0}{x}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{0}{x}^{4}+ \cdots$ 

 Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión 1 y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de $x$, esto es $\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}{(k+1){a}_{k+1}{x}^{k}}+\sum_{n=1}^{\infty}{2{a}_{k-1}{x}^{k}}}=0$ 

 Y, puesto que la primera serie empieza en $k = 0$ y la segunda en $k = 1$, separamos el primer término de la primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de $x$, obteniendo que ${a}_{1}+\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}[{(k+1){a}_{k+1}+2{a}_{k-1}]{x}^{k}}}=0$ 

Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia para los coeficientes ${a}_{1}=0$\\ ${a}_{k+1}=\cfrac{2}{k+1}{a}_{k-1}$  

Tomando $k = 1, 2,... ,6$ y teniendo en cuenta que ${a}_{1} = 0$, resulta que ${a}_{2}=-\frac{2}{2}{a}_{0}=-{a}_{0}$  ${a}_{3}=-\frac{2}{3}{a}_{1}=0$

${a}_{4}=-\frac{2}{4}{a}_{0}=\frac{1}{2!}{a}_{0}$ ${a}_{5}=-\frac{2}{5}{a}_{1}=0$ ${a}_{6}=-\frac{2}{6}{a}_{0}=-\frac{1}{3!}{a}_{0}$ ${a}_{7}=-\frac{2}{7}{a}_{1}=0$ 

 Y de aquí, se observa que ${a}_{2n}=\cfrac{(-1)^{n}}{n!}{a}_{0}$ $n=1,2,3, \cdots$ ${a}_{2n+1}=0$ 

 $n=0,1,2, \cdots$

 Puesto que el coeficiente $a_{0}$ se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria $y$, por tanto, proporciona la solución general de la ecuación. $y={a}_{0}-{a}_{0}{x}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{0}{x}^{4}+ \cdots={a}_{0}\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}{\cfrac{(-1)^{n}}{n!}{x}^{2n}}}$ 

 Además esta serie recuerda el desarrollo de la función exponencial ver Cuadro 1.1, verificándose que la solución final es $y={a}_{0}{e}^{-x^{2}}$ 

Bibliografia 

ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill Interamericana, 2013.

 MARTÍNEZ, Jaime E.; ORTÍZ, Obed. Apuntes sobre Series de Potencia.